中学受験でたまに見かけるカレンダー算について思うところがある。
内容は手品の一種のようなものだが、話のタネに。
一発芸に困ったら、どうぞ
映画「サマーウォーズ」の主人公が先輩：夏希と電車の中に乗っているシーン。自分が数学オリンピックの惜しいところまで行ったという話をした後に彼女から「何かやって見せてよ」と無茶ぶりされる。
その時、主人公が夏希の誕生日を聞いてその日の曜日を即答する。
手品のつもりだったのかもしれないが、夏希には余り受けなかった。
モジュロ演算について、ざっくりと
さて、主人公はどうして曜日を言い当てることができたのか。主人公は「モジュロ演算」と答える。合同式と考えても良い。
自然数を自然数で割ると、商と余りが出る。
１０を７で割ると、１が商で３が余りだ。
１７を７で割ると、２が商で３が余りだ。
モジュロ演算はこの余りに注目をする。余りが同じ数を「○○を法としたとき、１０と１７は合同」等という言い方をする。
数式で書くと、１０≡３ mod ７ とか、１７≡３ mod ７などのように書く。
合同の考え方はカレンダーの話が一番わかりやすいだろう。
今年の５月３日は木曜日だ。５月１０日、５月１７日、５月２４日、５月３１日全て木曜日だ。
計算を高速化するための知識
だが、これだけを知っていても計算の高速化はまだできない。
計算の高速化をするには、他にもカレンダーの性質を幾つか頭に入れておく必要がある。
絶対におさえておかなければならないのは、うるう年の存在だ。
うるう年というのは、２月の日数が２９日になる年のことだ。うるう年でない年は２８日である。
うるう年かそうでないかを決めるのは「西暦」の値によって決まる。
・西暦が４で割り切れる年はうるう年である。
・ただし、西暦が１００で割り切れるが４００で割り切れない年は平年である。
平年の１年の日数は３６５日、うるう年の１年の日数は３６６日だ。
７を法として考えると、平年は１日、うるう年は２日だ。
次におさえておきたいのは「月」の性質だ。
実は、１月から１２月で「日」と「曜日」が全く同じ月があるのだがご存じだろうか。
各月の初めの日、１日の曜日が同じ月がポイントだ。
平年では
- １月と１０月
- ２月と３月と１１月
- ４月と７月
- ９月と１２月
- ５月と６月と８月は無し
というグループが同じ曜日になる。今年や去年の月で確認してみると良い。曜日は７種類なのだから、このグループ分けも７種類以下に分かれる。
曜日順に並び替えると
- １月と１０月
- ５月
- ８月
- ２月と３月と１１月
- ６月
- ９月と１２月
- ４月と７月
１月１日が月曜日であれば、５月１日は火曜日、８月１日は水曜日、２月１日は木曜日、６月１日は金曜日、９月１日は土曜日、４月１日は日曜日となる。
１月１日が木曜日ならば、５月１日は金曜日・・・と曜日がずれるという仕組みになっている。
そして、うるう年では
- １月と４月と７月
- ２月と８月
- ３月と１１月
- ９月と１２月
- ５月と６月と１０月は無し
曜日順に並べ替えると
- １月と４月と７月
- １０月
- ５月
- ２月と８月
- ３月と１１月
- ６月
- ９月と１２月
もっと、面白い工夫があるかもしれないがこういう性質を覚えて後は練習で、映画冒頭のような真似事は実際に可能だ。
後は練習あるのみ
さて、試しに幾つかの例題を解いてみよう。
２０１８年１月１日は月曜日である。次の日付の曜日を求めよ。
（１）２０１８年１２月３１日
（２）２０００年１月１日
（３）１９４５年８月１５日
回答
（１）２０１９年１月１日は２０１８年が３６５日であることから３６５≡１ mod ７なので、火曜日。１日前の２０１８年１２月３１日は月曜日。
（２）１年は３６５日なので、１年経つごとに１月１日の曜日は１ずつずれていく。２０００年から２０１８年までは１８年なので、１８のずれがある。また、２０００年から２０１８年までのうるう年の回数は５回（２０００年もうるう年）なので、２０１８年１月１日は、２０００年１月１日から２３（１８＋５）ずらした曜日になっている。２３≡２ mod ７なので、２０１８年１月１日が月曜日であることから２日前に戻せば土曜日となる。
（３）１９４５年１月１日から２０１８年１月１日までは７３年ある為、７３のずれがある。さらに、うるう年が１８回あるので合計９１のずれがある。９１≡０ mod ７であるため、１９４５年１月１日と２０１８年１月１日は同じ月曜日である。１月１日が月曜日であるなら、８月１日は水曜日である。よって、２週間後の１９４５年８月１５日は水曜日。