自然数の問題を解いてみよう

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さて、面白そうな自然数の問題をみつけたので解いてみよう。

レベルとしては、高校受験レベルだろうか。

問題

この式を満たすような自然数の組(a , b)は存在しないことを示せ。

回答

背理法で解く。

問題文の式を満たすような自然数の組(a , b)が存在するとする。なお、自然数とは1以上の整数を指すものとする。

問題文の式を変形して

と書き直せる。すると、

が言える。何故ならば、aとbは自然数だからそれらの積と差は整数でなければならない。

1本目の式を

と変形して、2本目の式に代入すると

 

となる。ここで、この変形をまとめると

aはこの式を満たさなければならない。

1以上の整数(自然数)でこの式を満たすものはa=1のみである。

ここで、a=1であるならば、b=2でなければならない。(途中式より)

しかし、a=1とb=2では問題の式を満たさない。

故に、問題文を満たすような自然数の組(a , b)が存在すると仮定したことが誤り。

故に、題意は示される。

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